Курс «Компьютерная алгебра»

2019/2020 учебный год


Преподаватели

Лектор: Малышев И.А.



Лекции

Раздел 1. Что такое "компьютерная алгебра" ?

Тема Краткое содержание
01 Общая характеристика учебного курса Предмет дисциплины.
Место дисциплины в учебном плане.
Структура разделов дисциплины.
Базовый уровень подготовки студентов.
Виды учебных занятий и аттестаций.
Результаты изучения дисциплины.
Источники учебных материалов.
Контактная информация.
02 Компьютерная обработка информации: модели, методы, средства Информационные объекты.
Компьютерная алгебра и численный анализ.
Элементы теории сложности алгоритмов.
03 Основы символьных вычислений Структуры данных в компьютерной алгебре.
Техника символьных вычислений.
04 Основы арифметических вычислений Целочисленная арифметика.
Полиномиальная арифметика.
05 Системы компьютерной алгебры: достижения и перспективы Классификация систем компьютерной алгебры.
Типовая архитектура.
Библиотеки алгоритмов и пакеты расширения.
Пользовательские интерфейсы.
Многообразие реализаций.
Перспективные направления развития.

Раздел 2. Математические объекты и их представления.

Тема Краткое содержание
06 Элементы общей алгебры и теории чисел Основные понятия теории множеств.
Алгебраические системы.
Числовые системы.
07 Математические объекты компьютерной алгебры Свойства представлений математических объектов (МО).
Символьные представления МО.
Характеристика задач построения эквивалентных представлений.
Представление базовых объектов компьютерной алгебры.
Представление алгебраических функций.
Представление трансцендентных функций.
Представление матриц.
08 Преобразования представлений математических объектов Характеристика задач преобразования представлений.
Средства преобразования представлений.
09 Каноническое упрощение алгебраических выражений Редукция алгебраических выражений.
Метод локализации.
Метод критических пар.
Метод пополнения.
10 Каноническое упрощение полиномиальных уравнений Задача полиномиального упрощения.
Редукция полиномов.
Базисы Грёбнера.
Решение системы полиномиальных уравнений.
Алгоритм Бухбергера.

Раздел 3. Алгоритмы вычислений в компьютерной алгебре.

Тема Краткое содержание
11 Вычисление НОД целых чисел и полиномов Отношение делимости и его свойства.
Алгоритмы вычисления НОД в кольце целых чисел.
Алгоритмы вычисления НОД в кольцах полиномов.
12 Факторизация целых чисел Алгоритм Евклида и цепные дроби.
Простые числа. Решето Эратосфена. Тесты простоты.
Разложение целых чисел на множители.
13 Факторизация полиномов Вычисление значений и корней полиномов.
Разложение полиномов на неприводимые множители.
Разложение полиномов на свободные от квадратов множители.
Разложение на множители полиномов над конечными полями.
14 Точные вычисления в конечных полях Целые числа по модулю m.
Греко-китайская теорема об остатках.
Арифметика вычетов.



Лабораторные работы

Тема Система компьютерной алгебры
1 Интерактивные символьные вычисления Maxima
Maple
2 Программирование символьных вычислений Maxima
Maple
3 Разработка алгоритмов символьных вычислений математических функций Maxima
4 Разработка пользовательских библиотек математических объектов Maple
5 Анализ сложности и оптимизация эффективности вычислительных алгоритмов Maxima
Maple
6 Тестирование умений и навыков решения математических задач методами компьютерной алгебры Maxima
Maple

Домашние задания
Расчётные задания



Литература

Основная

  1. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями / Пер. с англ. – М.: Мир, 1994. – 544 с.

  2. Демьянович Ю.К. Компьютерная алгебра. Системы аналитических вычислений. Учебное пособие. – СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского гос. ун-та, 1999. – 106 с.

  3. Лукач Ю.С. Основы компьютерной алгебры. Учебное пособие. – Екатеринбург: Изд-во Уральского гос. ун-та, 2008. – 78 с.

  4. Кузнецов М.И. и др. Компьютерная алгебра. Учебное пособие. – Н. Новгород: Изд-во Нижегородского гос. ун-та, 2002. – 223 с.

  5. Панкратьев Е. В. Элементы компьютерной алгебры. – М.: БИНОМ, 2007. – 248 с.

  6. Васильев Н.Н., Новиков Ф.А. Компьютерная алгебра. Часть 1. Дискретная математика, теория алгоритмов. Учебное пособие. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. - 198 с.

Дополнительная

  1. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов / Пер. с англ. – М.: Мир, 1979. – 512 с.

  2. Грегори Р., Кришнамурти Е. Безошибочные вычисления. Методы и приложения / Пер с англ. – М.: Мир, 1988. – 208 с.

  3. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра: символьные и алгебраические вычисления / Пер. с англ. – М.: Мир, 1991. – 350 с.

  4. Зюзьков В.М. Компьютерная алгебра. – Томск: Изд-во Томского ун-та, 2014. - 121 с.

  5. Кнут Д. Э. Искусство программирования / Пер. с англ. Т. 2: Получисленные алгоритмы. – М.: Вильямс, 2005. – 832 с.

  6. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Пер. с англ. / Под ред. Б. Бухбергера, Дж. Коллинза, Р. Лооса. – М.: Мир, 1986. – 392 с.

  7. Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика (с упражнениями и решениями) / Пер. с франц. – М.: Мир, 1999. – 719 с.

  8. Тан К. Ш., Стиб В.-Х., Харди Й. Символьный C++. Введение в компьютерную алгебру с использованием объектно-ориентированного программирования / Пер. с англ. – М.: Мир, 2001. – 622 с.

  9. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры : учебное пособие / А. П. Горюшкин, В. А. Горюшкин. — 2-е изд., испр. и доп. — Петропавловск-Камчатский : КамГУ им. Витуса Беринга, 2011. — 518 с.

  10. Компьютерная математика с Maxima: Руководство для школьников и студентов / Е.А. Чикарёв. - М.: ALT Linux, 2012. - 384 с.

  11. Прохоров Г.В., Колбеев В.В., Желнов К.И., Леденев М.А. Пакет символьных вычислений Maple V Release 4: Руководство пользователя. - М.: Петит, 2001. - 200 с.